Просто о сложном: Когда лопнет пружина?

Элементарный и поучительный расчет винтовых пружин с малым шагом витков

Как-то за долгие годы работы в школе не помню, чтобы встречались задачи, связанные с расчетом пружин. Речь не идет о простейшем нахождении силы упругости или удлинения Δl  пружины по известному закону Гука. Понятно, что это не вопрос школьной физики, соответствующие расчеты пружин относятся к теории упругости и сопротивления материалов. Однако очень хочется попробовать с возможностями школьной физики сделать несколько оценок насчет, например, сплошь и рядом встречающейся цилиндрической пружины.

Почему именно в пружинах возникают значительные силы упругости? Очевидно, стальная пружина отличается от стержня из того же материала, где эти силы не столь велики, в первую очередь, формой. Но только ли в ней дело? При значительных внешних силах (нагрузках) и малых сечениях большим оказывается и напряжение, которые испытывают пружины. Как связано максимальное напряжение с параметрами пружины – диаметром пружины, диаметром проволоки, из которой она свита. Наконец, как зависит удлинение (сжатие) пружины от параметров пружины, в том числе от числа витков? Сможем ли мы сделать эти оценки, не прибегая к высшей математике с ее интегралами и производными?

Для увеличения щелкнуть на картинке мышкой

Сделаем рисунок витой цилиндрической пружины с постоянным и малым шагом витков l, при котором угол наклона витка к горизонту мал и можно положить, что cosα≈1 (см.рис.). Средний радиус витка пружины обозначим R, (соответственно, диаметр – D), а радиус стержня пружины – r, площадь стержня – s. Пусть к пружине приложена внешняя сила F, направленная вверх. Действие этой внешней силы заставляет пружину (стержень пружины) не только собственно растягиваться, но и дополнительно раскручиваться. На самом деле это легко ощутить, если взять в руки вместо цилиндрической пружины прямоугольную. Еще проще в этом убедиться, если свернуть пружину из прямоугольного пластмассового хомутика и попытаться ее растянуть. Пальцы ощущают силу кручения. Это позволяет нам разложить нашу силу F на две составляющие: касательную к сечению и перпендикулярную ей поперечную или радиальную (см.рис.). Синим цветом показаны соответствующие равные и противоположно направленные силы упругости пружины, возникающие в ответ на деформации, вызванные осевой нагрузкой F. Проведем дополнительно для большей ясности в каком-либо месте разрез стержня пружины вертикальной плоскостью, проходящей через ось пружины и отбросим нижнюю часть. Действие отброшенной части на верхнюю сводится к силе F, направленной вниз по оси пружины. Таким образом, сечение пружины находится под напряжением двух составляющих сил. Общее напряжение, очевидно, равно сумме двух напряжений: σ=σ^круч+σ^попер   (1). (Касательное напряжение кручения, строго говоря, есть напряжение сдвига, так кручение цилиндрического сечения пружины, ведет к сдвигу одних слоев относительно других.) Для определения напряжений воспользуемся законом Гука в форме Юнга:  

F_упр=σS .

В нашем случае

F = F^круч /sinα=σ_кас s,  откуда σ_кас=F^круч /(s∙sinα) .              

Аналогично

F = F^попер/cosα=σ_норs  =>   σ_нор=F^попер/(s∙cosα) .

Обе силы вызывают в сечении именно касательные напряжения. Наибольшие напряжения от кручения как раз у контура сечения. В этом случае общее напряжение будет наибольшим и тогда

σ_max = σ^круч + σ^попер= F^круч /(s∙sinα) + F^попер/(s∙cosα)  (2)

Учтем, что сечение стержня пружины круг, а значит, s=¹/₄πd². Сечение приближенно можно считать кругом, а не эллипсом, если выполняется условие для пружин с малым шагом витков h (см.рис.):

Также из рисунка видим, что sinα≈r/D. Уже отмечалось, cosα≈1. Тогда (2) перепишется:

σ_max = 4F^кручD/(πd²r) + 4F^попер/(πd²) = 8F^кручD/(πd³) + 4F^попер/(πd²)     (3)

Эта формула является расчетной для оценки прочности пружины. Сделаем несколько важных теоретических выводов-приближений, важных для практического использования полученной формулы. Присмотримся к правой части выражения (3). Слагаемые отличаются на множитель D/d, который является важным геометрическим параметром пружины. Если отношение D/d существенно (при D>5d), то 1-ое слагаемое в формуле (3) является определяющим, вносит наибольший вклад, а вторым слагаемым можно пренебречь и условие прочности записать в виде:

σ_max ≈ 8F^кручD/(πd³)

Обратим внимание, что при D>5d синус угла α, т.е. отношение d/D меньше 0,2 , а сам угол меньше 12^о. Продолжим ряд приближений. При таком угле (практически это означает – при таком соотношении диаметров стержня и самой пружины) сила F^круч приближенно равна приложенной внешней силе F и тогда наибольшее касательное напряжение в пружине определится по формуле:

σ_max ≈ 8FD/(πd³), где D – диаметр пружины, d – диаметр стержня пружины (проволоки).

Вывод 1. Несмотря на сложную форму деформируемого образца, стержень пружины, кажется нам удалось получить формулу для расчета прочности пружины.

Вывод 2. При действии сил, направленных по оси пружины и растягивающих или сжимающих ее, стержень пружины в основном испытывает кручение.

Вывод 3. Мы не делали расчет максимального касательного напряжения от поперечной силы. Но результат из сопромата известен: , т.е. F^попер = ⁴/₃F. К сожалению, простыми средствами получить коэффициент ⁴/₃ пока нет возможности...

Вывод 4. Внутренняя точка А диаметра является опасной точкой сечения, так как здесь крутящая и поперечная силы совпадают по направлению и складываются. Именно здесь при перегрузке в отсутствие иных дефектов у пружины может произойти разрушение.

В следующий раз мы попытаемся определить осевое удлинение пружины при растяжении силой F.

Если у кого-то есть соображения по этому поводу пишите в комментах... Удачи и творческих поисков!