Решаем задачи ЦТ 2011 г. по физике

Каков же истинный тормозной путь автомобиля?

В1 (Вариант 1). Автомобиль движется со скоростью 18 м/с. На дорогу выбегает лось. Если время реакции водителя автомобиля 1,0 с, а постоянное ускорение 3,6м/с², то тормозной путь равен …м.

Задача при том условии, какое мы получили, обладает некоторой двусмысленностью. По этой причине поначалу не хотелось ее решать. Но потом мне показалось, что поучительно будет рассмотреть оба решения, которые, естественно приводят к разным ответам!

Но откуда учащимся знать и понимать тонкости понятия "тормозной путь", если они не являются водителями-профессионалами. Им могло показаться, что тормозной путь есть длина участка, который пройдет автомобиль с момента обнаружения водителем препятствия до полной остановки. А это на самом деле в той же теории автомобиля – остановочный путь.

Таким образом, тормозной путь не является идентичным пути остановки автомобиля. Путь остановки содержит в себе тормозной путь. Для его нахождения, действительно, надо учитывать время реакции (его и приводят авторы в условии) и время срабатывания тормозной системы. С учетом только что сказанного, остановочный путь (полный тормозной путь) s будет состоять из пути s_р, которой авто пройдет за время реакции водителя и непосредственно пути s_т торможения (фактического тормозного пути), пройденного после того, как водитель все-таки нажал на педаль тормоза. (В этом и есть большая и единственная сложность этой задачи.) Т.е. 

s = s_р+ s_т .

P.S. Так какой же из двух полученных ответов в задаче является правильным? Надо внимательно смотреть условие. Согласно тому условию, которое я имею, истинный ответ первый, т.е. 45 м. Повторюсь, это и есть фактический тормозной путь. И дело не только в теории автомобиля, это разумно, это логично. Нехорошо, если авторы теста заимствовали условие задачи из плохого сборника и время реакции 1,0 с оказывается лишним данным. Правда, есть еще один вопрос: а какой ответ предполагает тест?...

Уже после приведенного решения задачи от одного из абитуриентов последовало уточнение условия: автомобиль вначале (до начала торможения) двигался с постоянной скоростью, а не имел постоянное ускорение в обоих случаях движения: до нажатия на тормоза и после. (Еще раз замечу, насколько важно каждое слово в условии физической задачи!) После такой корректировки условия приведенная первая часть решения будет выглядеть так. До торможения пройденный за  ∆t_р=1,0 с  путь  s_р по причине равномерного движения составит: s_р= v_о∆t_р = 18 м. А остановочный путь (полный тормозной), соответственно,

s = s_р+s_т = 18 м + 45 м = 63 м.

Замечание 1.  Важно четко проанализировать условие задачи.

Замечание 2. Изменение условия не отменяет наши предыдущие рассуждения по поводу тормозного пути. Они остаются в силе: правильный ответ: 45 м; незнание абитуриентами понятия «тормозной путь» может привести к неверному ответу: 63 м.

Замечание 3. Рассуждая о времени ∆t_р реакции водителя, мне было интересно показать нахождение время ∆t_т непосредственного торможения автомобиля. Хотя второй путь может быть найден и по другой формуле – формуле пути равноускоренного движения без времени:

 s = (v² – v_о² )/(–2а) = v_о²/(2а) = (18 м/с)² / 2∙3,6 м/с² = 45 м.

Мы продолжаем давать комментарий, решения задач по физике централизованного тестирования 2011 г...

Подробное решение очередной задачи из части В. Не только ради нынешних абитуриентов, но и на полльзу тем, кто будет сдавать ЦТ или ЕГЭ в 2012 году.

Цепь переменного тока с конденсатором и катушкой индуктивности

В? (Вариант 7) В цепь переменного тока включен конденсатор электроемкостью С=0,11 мкФ и катушка индуктивности L=9,9 мГн. Максимальное значение силы тока в цепи I₀=80 мА. Найти максимальное значение напряжения U₀ ... в вольтах.

Смесь газов. Что мы об этом знаем?

B5. (Вариант 1) В баллоне 2 газа: аргон и кислород. Парциальное давление аргона (молярная масса M_Ar = 40 г/моль) в 3 раза больше парциального давления кислорода  (М_O= 32 г/моль). Молярная масса смеси равна …г/моль.

Задачи на смесь газов вызывали и вызывают определенные трудности у учащихся. Одна из причин будет высказана ниже (см. замечание). У многих учащихся складывается представление, будто понятие парциального давления относится только к водяному пару, что неверно. По-видимому, вследствие этого они не могут установить связь между давлением смеси газов и их парциальным давлением.

Парциальным давлением называется давление газа, входящего в состав газовой смеси, которое он производил бы, если бы он один занимал весь объем смеси и находился при температуре смеси. (Парциальный (от лат. pars – часть) – частичный, отдельный.)

Данная задача имеет несколько решений, покажем два: физическое и логико-математическое (для тех, кто не владеет физическими формулами, но не лишен математической логики). Хороший репетитор, отталкиваясь от уровня знаний ученика предлагает тот или иной способ, хороший учитель обязан рассмотреть все способы. А теперь, как всегда, подробное решение.

При одном и том же объеме есть желание разделить первое уравнение на второе, получим соотношение между массами аргона и кислорода:

m_Ar /m_O = 3M_Ar / М_O = 3,75 , или m_Ar  = 3,75m_O.

Естественно записать уравнение состояния для смеси, так как изначально требуется найти молярную массу М смеси. (Конечно, это можно было сделать и в первом шаге, начав решение с вопроса задачи, и через минуту убедиться, что неизвестны обе массы газов и приступить к их поиску или соотношению между ними, что мы и сделали.)

Учитывая, что давление p смеси газов согласно закону Дальтона равно сумме их парциальных давлений p = p_Ar + p_O = 3p_O+p_O = 4p_O, имеем:

4p_OV = (3,75m_O /M_Ar + m_O /M_O)∙RT = [m_O(3,75M_O+ M_Ar)/(M_ArM_O)]∙RT .

Продолжим упрощение, для этого перейдем к числовым значениям молярных масс и заменим для простоты счета 3,75 на 3 с четвертью, т.е. на 15/4. Таким образом, имеем:

4p_OV = [m_O(15∙32/4 + 40)/(40 ∙32)]∙RT = [160m_O /(40 ∙32)]∙RT = (m_O /8)∙RT.

Итак, 4p_OV= (m_O /8)∙RT.  По смыслу (m_O/8) есть количества вещества ν, смеси, которое, в свою очередь, по определению равно:

 ν= m / M =  (m_Ar + m_O)/M = (3,75m_O + m_O) = 4,75m_O/M = 19m_O /(4M).

Имеем:

 ν= m_O/8 = 19m_O /(4M),  или  ½ = 19/M .

Отсюда искомая молярная масса смеси M=38. Вспомнив, что для молярной массы мы импользовали единицы, заданные в условии, получаем

Ответ: 38 г/моль    

Это было стандартное физическое решение. Но решение могло быть и иным.

Решение 2. Для смеси справедливо, например, и такое соотношение:

ν=ν_Ar+ν_O    (*),

т.е. общее количества вещества смеси газов равно сумме количеств веществ входящих в смесь. Учтем, что по определению  ν= m / M.

Тогда вместо (*) будем иметь:

        (m_Ar + m_O)/M = m_Ar/M_Ar + m_O/M_O , или (m_Ar + m_O)/M = (M_Om_Ar + M_Arm_O) / (M_ArM_O).

Откуда может быть найдена молярная масса смеси M (при этом найденное ранее соотношение между массами газов m_Ar = 3,75m_O в смеси также используем):

Решение 3. Рассуждения могут быть и такими.

Чувствуется, значение молярной массы смеси из аргона (M_Ar = 40 г/моль) и кислорода (О₂ = 32 г/моль) близко к среднему арифметическому: 32.  Вопрос в том, насколько близко? А это зависит от количества аргона и кислорода в смеси! И что же мы имеем? Давление аргона в 3 больше, значит, на  ¾ от (40 – 32 = 8), т.е. на 6 г/моль, молярная масса смеси должна быть сдвинута в сторону более тяжелого аргона. Тогда ответ сразу: 32 + 6 = 38 г/моль. Все!

Замечание. Если мне не изменяет память, в белорусских школьных учебниках физики нет ни одной задачи на смесь газов, на тот же закон Дальтона. А в тесте есть! Поэтому вам ребята еще долго не обойтись без хорошего репетитора. Печально, но это так…

Воздушный пузырёк в жидкости

Задача подобная как на ЦТ-2011. Пузырёк воздуха объемом V = 0,59 см³ медленно поднимается с глубины H = 80 м к поверхности. Атмосферное давление p_a=100 000 Па, плотность воды 1000 кг/м³. Найти выталкивающую силу на глубине h = 1,0 м  в... мН.

           При подъеме пузырька давление на него будет уменьшаться. По этой причине объем самого воздушного пузырька будет расти. Однако из условия задачи неясно, остается ли температура воды, и, соответственно, воздуха в пузырьке постоянной. При имеющихся данных, чтобы задача имела решение, нам следует предположить, решительно принять, что температура воды при подъеме оставалась постоянной. Подобная школьная задача была в учебнике «Физика-10кл., 2002 г.», и мы уже ее решали здесь >>>. Правда, там температура воды на глубине и у поверхности была разной, что более правдоподобно. На глубине 80 м температура воды где-нибудь около 10^оС (зависит от сезона, самого водного бассейна), т.е. на порядок ниже, чем у поверхности. Это существенно. Кстати, для физических задач положено, чтобы они содержали реальные данные. Разобравшись с условием, приступим, собственно, к решению при том условии, какое записано выше.

           Состояние I:  р_H = р_a+ρgH  (давление на глубине H складывается из атмосферного и гидростатического;  ρ – плотность воды);  V_H – дано;  t_H = t  .

        Состояние I I:  р_h = р_a+ρgh  (р_h – давление на глубине h); V_h – надо найти, этот объем как раз необходим для расчета архимедовой силы на заданной глубине h;  t_h = t  – не изменилось.

Замечание. Слагаемым ρgh пренебрегать опасно, несмотря на то, что его значение где-то на порядок меньше атмосферного давление р_a.

Внимание.  Не следует путать гидростатическое давление (давление столба неподвижной жидкости) и давление в жидкости, которое действует на тело (пузырек) на некоторой глубине! Эта одна из типичных ошибок при решении подобных задач.

            Будем считать, что при переходе из состояния  I  в  II  масса воздуха, заключенного в пузырьке, не меняется:   m_H = m_h .  Так как t = const  и   m = const, то из объединенного уравнения газового состояния (уравнения Клапейрона)

р_HV_H / T_H = р_hV_h / T_h

как частный случай, получается уравнение Бойля-Мариотта:

р_HV_H = р_hV_h .

            Используя приведенные выше характеристики  I  и  II  состояний, можно записать:

(р_a+ρgH)V_H = (р_a+ρgh)V_h .

            Откуда получим V_h :

V_h = (р_a+ρgH)V_H / (р_a+ρgh).

            Окончательно для искомой архимедовой силы будем иметь:

F_A= gρV_h = gρV_H (р_a+ρgH) / (р_a+ρgh).

            Осталось вычислить:

F_A=10м/с²∙1000кг/м³∙0,59∙10^-6 м³(100000Па+1000кг/м³∙10м/с²∙80м) / (100000Па+1000кг/м³∙10м/с²∙1,0м)

    = (0,59∙10^-2 ∙ 900 000 / 110 000) Н ≈ 4,8∙10^-2 Н ≈ 48 мН.

            Ответ:  48 мН.

Замечание.  Будьте внимательны, при вычислениях брать ускорения g равным 10 м/с² !

Замечание. Были варианты, где температура воды с глубиной изменялась. Принцип решения таких задач тот же, только вместо частного закона Бойля-Мариотта необходимо использовать уравнение Клапейрона (Клапейрона-Менделеева).

Уточнение.  Как оказалось, абитуриент, тестировавшийся по физике, ошибся с условием. Таким образом, как мы и предполагали, во всех вариантах температура воды при всплытии пузырька изменялась. А значит, задача еще больше становится похожей на ранее решенную здесь >>>. Отличие лишь в том, что кроме изменения объема нужно дополнительно найти силу Архимеда. Переформулируем задачу с уточненными температурными данными.

B6. (Вариант 1.)  Пузырёк воздуха объемом V = 0,59 см³ медленно поднимается с глубины H = 80 м, на которой температура окружающей воды 7 ^оС, на глубину h = 1,0 м, где температура воды 17 ^оС. Атмосферное давление p_a=100 000 Па, плотность воды 1000 кг/м³. Найти выталкивающую силу на глубине h=1,0 м  в... мН.

           Состояние I:  р_H = р_a+ρgH  (давление на глубине H складывается из атмосферного и гидростатического;  ρ – плотность воды);  V_H – дано;  T_H = t_H +273 = 290 К.

            Состояние I I:  р_h = р_a+ρgh  (р_h – давление на глубине h); V_h – надо найти, этот объем как раз необходим для расчета архимедовой силы на заданной глубине h;  T_h = t_h +273 = 280 К.

           В соответствии с уравнением Клапейрона

р_HV_H / T_H = р_hV_h / T_h .

           Откуда c учетом записанных выше параметров для р_H , р_h  найдем V_h :

V_h = (р_a+ρgH)V_HT_h / [(р_a+ρgh)T_H].

            Соответственно искомая архимедова сила

F_A= gρV_h = gρ(р_a+ρgH)V_HT_h / [(р_a+ρgh)T_H].  (**)

            Видим, что расчетная формула для F_A отличается от предыдущей множителем T_h / T_H , а значит, наш ответ будет отличаться от ранее вычисленного (без учета температур) в T_h / T_H раз. Так что подстановки значений величин в системе СИ и новых долгих вычислений не потребуется. Окончательно с учетом вычисленного в предыдущей задаче

F_A≈ 48,3 мН∙(T_h / T_H) ≈ 48,3 мН∙280 / 290 ≈ 47 мН.

           Ответ: 47 мН.

 Замечание. Разница с предыдущим ответом 1 мН, т.е. учет температурного фактора (увеличение температуры воды при поднятии воздушного пузырька на 10 ^оС) уменьшил силу Архимеда на 1 мН. Много это или мало? Важно, что если при решении задачи вы этого не учли, получите за решение этой задачи на централизованном тестировании 0 баллов! А, скажем, на олимпиаде по физике, где учитывается степень вашего продвижения в правильном направлении, вам засчитали бы где-нибудь процентов 60% решения (отсутвие одного важного шага из трех). Так что хорошо или плохо тестирование – решать вам!

Замечание. В варианте 7 требовалось найти глубину  h₂ (h маленькое в наших обозначениях) при заданном значении архимедовой силы на этой глубине F₂ = 51мН = F_h и на глубине h₂ = H =  80 м сила  F₁ = 11мН = F_H. Температуры на указанных глубинах заданы. Задача аналогична, физические рассуждения те же (порядок математических действий может быть иным, от этого суть решения задачи не меняется!). Впрочем, см. коммент от Витька здесь>>>. Там план решения… Приведу расчетную формулу (если решать в общем виде):

Для получения формулы вам придется проделать ряд математический преобразований и не дай вам бог ошибиться при этом в действиях, индексах, или при подстановке числовых данных, или при вычислениях.

Приведу ответ на задание B6. (вариант 7.):  Глубина h₂ = h = 10 м.

ВНИМАНИЕ. По просьбе народа дальше будут рассмотрены все нюансы решения задач из части В про автомобиль на мосту, движение заряженных частиц в магнитном поле, калориметр. Заходим на сайт...